Путь Вячеслава Швырёва в академии клуба начался в 2015 году. Именно благодаря своим лидерским и бомбардирским качествам, скауты клуба заметили совсем юного футболиста. Всего за два сезона, Вячеслав забил в составе алматинской команды 49 голов. Это невероятный показатель, но стоит отметить и его умения заметить партнеров по команде: 25 раз нападающий стал автором голевой передачи («гол+пас» – 49+25). В сезоне-2016, футболист был признан лучшим игроком Первенства страны, а по итогам сезона-2017, Швырёв забил 28 голов и завоевал титул лучшего бомбардира. 11 марта 2018 года Вячеслав дебютировал за основную команду ФК «Кайрат» в рамках встречи 1-го тура Премьер-лиги против «Кызыл-Жара» (2:1). Свой дебютный гол Швырёв забил уже в следующем сезоне, в ворота карагандинского «Шахтера» (2:1). Первую половину 2021 года на правах аренды выступал за уральский «Акжайык», а летом пополнил состав ФК «Кайрат-Москва» и сходу стал лучшим бомбардиром команды – в 17 матчах форвард забил 9 мячей и выполнил 4 результативные передачи. В феврале 2022 года вернулся в основной состав ФК «Кайрат», и с тех пор является одним из основных нападающих «желто-черных».